Question

如圖9，平行四邊形中，，，為銳角， .為線段上的一個動點（不包括端點），，交射線于點，交射線于點.

1.若點在線段上，求與的周長之和

2.判斷在點的運動過程中，與是否會相似？如果相似，請求出的長；如果不相似，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

1.方法一：

如圖，過點作于，

∵ ，

   ，

∴.     ……………………………………………………… 1分

在平行四邊形中，∥，， 

 ∴，又，∴四邊形為矩形.

∴，，                     ………………………………………… 2分

在中，，=，

可求得，.                    ……………………………………………… 3分

∴ ，.         

∴.             ……………………………………………… 4分

方法二：

設，∵，∴，.                 ……… 1分

在平行四邊形中，∥，，

∴，CG=BCBG=105k，.

∴在中， GF=84k，CF=63k.                     ……………………………… 3分

∴

               

               = 24.                     ……………………………………………………… 4分

2.①當時，設，

∵，∴，，，.

∵   

∴要使與相似，需滿足或.

當時 ，

                        ………………………………………………………5分

∴                               ………………………………………………………6分

此時，，滿足.

當 時，

                               ………………………………………………7分

∴  或                       ………………………………………………………8分

此時，或14，不滿足.      …………………………………………………… 9分

∴當 時，與相似.

 

②當時，點與點重合，不存在與相似. ………………  10分

 

③當時，

∵∥，∥，是銳角

∴是鈍角

又∵，∴也是銳角，

∴.

∵，，

又∵   

∴，且，

∴當時，不存在與相似.  …………………………………… 11分

綜上所述，當時，與相似

【解析】（1）設，由

得，，即可求得與的周長

（2）分三種情況討論：①當時；②當時；③當時；