Question

（2013•萊蕪）如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y軸于點(diǎn)M．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長(zhǎng)度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似（不包括全等）？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入已知拋物線的解析式列出關(guān)于系數(shù)的三元一次方程組

9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=1

，通過解該方程組即可求得系數(shù)的值；
（2）由（1）中的拋物線解析式易求點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．所以利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的關(guān)系式為y=

1

3

x+1．由題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，-

1

3

x02-

2

3

x0+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x0，

1

3

x0+1）．易求DF=-

1

3

x02-

2

3

x0+1-(

1

3

x0+1)=-

1

3

x02-x0=-

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．根據(jù)二次函數(shù)最值的求法來求線段DF的最大值；
（3）需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：點(diǎn)P分別位于第一、二、三、四象限四種情況．此題主要利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答．

解答：解：由題意可知

9a-3b+c=0 a+b+c=0 4a-2b+c=1

．解得

a=- 1 3 b=- 2 3 c=1

．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-

1

3

x2-

2

3

x+1．

（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．
設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則

b=1 -3k+b=0

．
解得

k= 1 3 b=1

．
∴直線MA的表達(dá)式為y=

1

3

x+1．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x0，-

1

3

x02-

2

3

x0+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x0，

1

3

x0+1）．
DF=-

1

3

x02-

2

3

x0+1-(

1

3

x0+1)
=-

1

3

x02-x0=-

1

3

(x0+

3

2

)2+

3

4

．
當(dāng)x0=-

3

2

時(shí)，DF的最大值為

3

4

．
此時(shí)-

1

3

x02-

2

3

x0+1=

5

4

，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

2

，

5

4

）．

（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似．設(shè)P（m，-

1

3

m2-

2

3

m+1）．
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限．
①設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MN上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(m+3)，即m²+11m+24=0．解得m=-3（舍去）或m=-8．又-3＜m＜0，故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)不存在．
②當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，∵點(diǎn)P不可能在直線MA上，∴只能PN=3AN，
∴-

1

3

m2-

2

3

m+1=3(-m-3)，即m²+11m+24=0．
解得m=-3或m=-8．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，-15）．
③當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，若AN=3PN時(shí)，則-3(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=m+3，即m²+m-6=0．
解得m=-3（舍去）或m=2．
當(dāng)m=2時(shí)，-

1

3

x02-

2

3

x0+1=-

5

3

．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-

5

3

）．
若PN=3NA，則-(-

1

3

m2-

2

3

m+1)=3(m+3)，即m²-7m-30=0．
解得m=-3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，-39）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-8，-15）、（2，-

5

3

）、（10，-39）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題．其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的求法．需注意分類討論，全面考慮點(diǎn)P所在位置的各種情況．