Question

如圖，四邊形OABC為正方形，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B（8，8），點(diǎn)P在邊OC上，點(diǎn)M在邊AB上. 把四邊形OAMP沿PM對(duì)折，PM為折痕，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)Q處。動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，沿OC邊以相同的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，E、F同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，
（1）若點(diǎn)Q為線段BC邊中點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，設(shè)△OEF與四邊形OAMP重疊面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（1）的條件下，在正方形OABC邊上，是否存在點(diǎn)H，使△PMH為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）若點(diǎn)Q為線段BC上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），△BNQ的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，求出其值，若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）P（0，5），M（8，1）；
（2）10當(dāng)0≤t≤5時(shí)，S=； 20當(dāng)5≤t≤8時(shí)，如圖1，設(shè)EF與PM交點(diǎn)為R， 作RI⊥y軸，MS⊥y軸， ∵EO=FO， ∴RI=FI， 又∵， ∴RI=2PI， ∴FI=2PI， ∴FP=PI，PI=2PF， ∴PF=t-5，RI=2（t-5）， ∴S=S△OEF-S△PRF = =。
（3）10如圖2作PM的中垂線交正方形的邊為點(diǎn)H1，H2， 則PH1=MH1，PH2=MH2， ∴點(diǎn)H1，H2即為所求點(diǎn)， 設(shè)OH1=x， ∵PH1=MH1， ∴x2+52=（8-x）2+12，， ∴H1（）； 同理，設(shè)CH2=y， ∵PH2=MH2， ∴32+y2=（8-y）2+72，， ∴H2（）； 20當(dāng)PM=PH3時(shí)， ∵， ∴， 又∵PO=5， ∴， ∴； 30當(dāng)PM=MH4時(shí)， ∵， ∴， 又∵BM=7， ∴， ∴； 綜上，一共存在四個(gè)點(diǎn)，H1（），H2（）， 。
（4）∵∠PQN=90°， ∴∠CQP=∠BQN=90°， 又∵∠CQP+∠CPQ=90°， ∴∠CPQ=∠BQN， 又∵∠C=∠B=90°， ∴△CPQ∽△BQN， 設(shè)CQ=m， 則在Rt△CPQ中， ∵m2+CP2=（8-CP）2， ∴， ∴， 又∵△CPQ的周長(zhǎng)=CP+PQ+CQ=8+m， ∴△BQN的周長(zhǎng)==16， ∴△BQN的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，其值為16。