Question

已知：如圖，AC⊙O是的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，∠PBA=∠C．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：

切線的判定；全等三角形的判定與性質

分析：

（1）連接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）證△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：

（1）證明：連接OB，

∵AC是⊙O直徑，

∴∠ABC=90°，

∵OC=OB，

∴∠OBC=∠ACB，

∵∠PBA=∠ACB，

∴∠PBA=∠OBC，

即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，

∴OB⊥PB，

∵OB為半徑，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，則AC=2r，OB=R，

∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，

∴∠POB=∠OBC=∠OCB，

∵∠PBO=∠ABC=90°，

∴△PBO∽△ABC，

∴=，

∴=，

r=2，

即⊙O的半徑為2．

點評：

本題考查了等腰三角形性質，平行線性質，相似三角形的性質和判定，切線的判定等知識點的應用，主要考查學生的推理能力，用了方程思想．