Question

12．如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，那么：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為等腰直角三角形？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？
（3）四邊形AMCN的面積有什么特點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）先由運(yùn)動(dòng)，表示出AM，DN，AN，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AM=AN求出時(shí)間t，
（2）根據(jù)相似三角形的判定分兩種情況討論計(jì)算即可求出時(shí)間t，
（3）利用矩形，三角形的面積公式，最后借助不規(guī)則圖形的面積用幾個(gè)圖形的面積的和與差即可求出四邊形AMCN的面積是恒值為9．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=BC=6，AD=AB=3，∠ADC=∠BAD=90°，
由運(yùn)動(dòng)知，AM=t，DN=2t，
∴AN=6-2t，
（1）∵△AMN為等腰直角三角形，
∴AM=AN，
∴t=6-2t，
∴t=2
∴當(dāng)t=2s時(shí)，△AMN為等腰直角三角形．
（2）∵以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似
∴①$\frac{AM}{AN}=\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{t}{6-2t}=\frac{3}{6}$，
∴t=$\frac{3}{2}$
②$\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{t}{6-2t}=\frac{6}{3}$，
∴t=$\frac{12}{5}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$或$\frac{12}{5}$時(shí)，以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．
（3）S_{四邊形AMCN}=S_矩形ABCD-S_△CDN-S_△BCM
=AD×CD-$\frac{1}{2}$DN×CD-$\frac{1}{2}$BC×BN
=6×3-$\frac{1}{2}$×3×2t-$\frac{1}{2}$×6×（3-t）
=18-9
=9，
∴四邊形AMCN的面積是恒值為9．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定，相似三角形的判定，三角形，矩形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似時(shí)的時(shí)間t計(jì)算，難點(diǎn)是四邊形AMCN的面積的計(jì)算，是一道比較簡(jiǎn)單的�？碱}．