Question

3．已知菱形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立．
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過(guò)測(cè)量、觀察，猜想①PE與PB有怎樣的關(guān)系？②∠BPE與∠BCD有怎樣的關(guān)系？（直接寫(xiě)出結(jié)論不必證明）
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAP=∠DAP，根據(jù)全等三角形的判定得到△BAP≌△DAP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案；
（2）由（1）的結(jié)論得到PB=PD，∠APD=∠APB，證明△BPC≌△DPC，得到∠PBC=∠PDC，根據(jù)四點(diǎn)共圓證明結(jié)論即可．

解答 解：（1）①PE=PB，②∠BPE+∠BCD=180°，
證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=D}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAP，
∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED，又∠PED+∠PEC=180°，
∴∠PBC+∠PEC=180°，
∴∠BPE+∠BCD=180°；
（2）由（1）得△BAP≌△DAP，
∴PB=PD，∠APD=∠APB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
在△BPC和△DPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PB}\\{∠APB=∠APD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△DPC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PD，
∴∠PDC=∠PEC，
∴∠PBC=∠PEC，
∴B、C、P、E四點(diǎn)共圓，
∴∠BPE=∠BCE，
∵∠BCE+∠BCD=180°，
∴∠BPE+∠BCD=180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的四條邊相等、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角是解題的關(guān)鍵，注意類(lèi)比思想的應(yīng)用．