Question

8．如圖，已知四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，且E在D上．
（1）求∠AEB；
（2）求證：DE=CE．

Answer 1

分析 （1）延長AE、BC交于點M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根據(jù)ASA推出△ADE≌△MCE，根據(jù)全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根據(jù)等腰三角形的性質得出即可；
（2）過E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線性質得出EF=DE，EF=CE即可．

解答 （1）解：延長AE、BC交于點M，

∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM，
∴∠AEB=90°；

（2）證明：如圖2，過E作EF⊥AB于F，

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC
∴EF=DE=CE，
即DE=CE．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線性質，及等腰三角形的性質的應用，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具，能靈活運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．