Question

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t=2時(shí)，判斷△BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

Answer 1

解：（1）△BPQ是等邊三角形。
當(dāng)t=2時(shí)，AP=2×1=2，BQ=2×2=4，所以BP=AB-AP=6-2=4，所以BQ=BP，
又因?yàn)椤螧=60°，所以△BPQ是等邊三角形。
（2）過(guò)Q作QE⊥AB，垂足為E，
由QB=2y，得QE=2t·sin60°=t，
由AP=t，得PB=6-t，
所以S_△BPQ=×BP×QE=（6-t）×t=-t²+3t；
（3）因?yàn)镼R∥BA，所以∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，
又因?yàn)椤螩=60°，所以△QRC是等邊三角形，
所以QR=RC=QC=6-2t，
因?yàn)锽E=BQ·cos60°=×2t=t，
所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
所以EP∥QR，EP=QR，
所以四邊形EPRQ是平行四邊形，所以PR=EQ=t，
又因?yàn)椤螾EQ=90°，所以∠APR=∠PRQ=90°，
因?yàn)椤鰽PR∽△PRQ，所以∠QPR=∠A=60°，
所以tan60°=，即，所以t=，
所以當(dāng)t=時(shí)， △APR∽△PRQ。