Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）、B（0，4）的直線上，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\frac{\sqrt{119}}{5}$
• C． 2.4
• D． 3

Answer 1

分析 連接OP，OQ，過點(diǎn)O作OP′⊥AB，垂足為P′．由切線的性質(zhì)可證明△OQP為直角三角形，故此當(dāng)OP有最小值時(shí)，PQ由最小值，接下來由垂線段的性質(zhì)可知當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP有最小值，接下來，在△AOB中依據(jù)面積法求得OP′的長(zhǎng)，從而可求得PQ的最小值．

解答 解：如圖所示：連接OP，OQ，過點(diǎn)O作OP′⊥AB，垂足為P′．

∵A（-3，0）、B（0，4），
∴OA=3，OB=4．
由勾股定理可知AB=5．
∵OP′•AB=OA•OB，
∴OP′=$\frac{12}{5}$．
∵PQ是圓O的切線，
∴OQ⊥QO．
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$．
∴當(dāng)OP有最小值時(shí)，PQ有最小值．
∵由垂線段最短可知PO的最小值=OP′=$\frac{12}{5}$，
∴PQ的最小值=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{119}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線的性質(zhì)，由垂線段的性質(zhì)求得OP的最小值是解題的關(guān)鍵．