Question

如圖，一個含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合，過E點做EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點．AE與CF交于M，HE與CF交于N．
（1）求證：∠DAE=∠BEA，AH=CE；
（2）探究線段HE與CF的數量關系和位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵△HBE是含45°角的直角三角形，
∴∠H=∠HEB=45°，
∴BH=BE，
∴BH-BA=BE-BC，
∴AH=CE；

（2）解：線段HE與CF的數量關系是HE=CF，位置關系是HE⊥CF，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCE=∠HAD=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°=∠HAD，
∵由（1）知∠DAE=∠AEB，
∴∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB，
即∠HAE=∠CEF，
∵∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠H，
∵在△HAE和△CEF中
，
∴△HAE≌△CEF，
∴HE=CF，∠F=∠HEA，
∵∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°，
∴∠FNE=180°-90°=90°，
∴HE⊥CF，
即線段HE與CF的數量關系是HE=CF，位置關系是HE⊥CF．
分析：（1）根據正方形性質得出AB=BC，AD∥BC，根據平行線性質得出∠DAE=∠BEA，BH=BE和AB=BC相減即可得出AH=CE；
（2）段HE與CF的數量關系是HE=CF，位置關系是HE⊥CF，根據正方形性質得出∠DCE=∠HAD=90°，求出∠HAE=∠FEC=135°，∠FCE=45°=∠H，根據ASA證△HAE≌△CEF，推出HE=CF，∠F=∠HEA，求出∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°，根據三角形的內角和定理求出∠FNE=90°即可．
點評：本題考查了正方形性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，垂直定義等知識點，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，有一定的難度．