Question

如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、B，AB=5，cos∠OAB=，直線分別與直線AB、x軸、y軸交于點C、D、E．
（1）求證：∠OED=∠OAB；
（2）直線DE上是否存在點P，使△PBE與△AOB相似，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用題中已知條件求出直線AB的解析式，可知AB與CE是互相垂直的，然后證明∠OED=∠OAB；
（2）分兩種情況討論：①當∠EBP與∠AOB是對應角時；②當∠EBP與∠ABO是對應角時．對應不同情況解出點P的坐標．
解答：解：（1）在Rt△OAB中，∵AB=5，cos∠OAB=，
∴OA=4，OB=3，（1分）
∴=．
令x=0，則y=-1，∴OE=1．
令y=0，則，∴，∴OD=．（2分）
∴=．
∴=（3分）
∵∠EOD=∠AOB=90°，
∴△EOD∽△AOB，
∴∠OED=∠OAB．（4分）

（2）分兩種情況：
當∠EBP與∠AOB是對應角時，如圖1，
則∠EBP=∠AOB=90°．（5分）
由（1）知，∠OAB=∠OED，OA=BE=4，
∴△BEP≌△AOB，
∴BP=OB=3，（6分）
將x=3代入中，得，
∴點P（3，3）．（7分）
當∠EBP與∠ABO是對應角時，如圖2，則∠EBP=∠ABO．（8分）
∵∠OAB=∠OED，∴△EPB∽△AOB．
∵點P和點D都在直線CD上，
∴點C即為點P．（9分）
設直線AB解析式為y=kx+b．
將點A（4，0），點B（0，3）代入y=kx+b中，得，∴，∴，（10分）
∴，∴，∴點P（，）．（11分）
點評：本題主要考查對一次函數(shù)的綜合應用和相似三角形的應用．