Question

拋物線y＝－x²＋(k＋1)x－k與x軸交于A、B兩點(點A在點B左邊)，與y軸的正半軸交于點C，問是否存在實數(shù)k，使△AOC與以C、O、B為頂點的三角形相似？若存在，求出相應的k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：令x＝0，則y＝－k， 　　∴C(0，－k)． 　　∵點C在y軸正半軸上，－k＞0， 　　∴k＜0． 　　令y＝0，則－x2＋(k＋1)x－k＝0 　　解得x1＝k，x2＝1． 　　∵點A在點B左邊， 　　∴A(k，0)，B(1，0)． 　　(由于k＜0，A、B兩點位于原點兩側(cè)，如上圖．) 　　若△AOC和以C、O、B為頂點的三角形相似，因它們都是直角三角形，只需 　　＝①或＝②， 　　由①得AO＝BO＝1， 　　∴k＝－1！ 　　[注意：這里很容易誤認為k＝1，要注意k＜0！這是點A的橫坐標k與線段AO(或BO)的長1(－k＝線段AO的長)之間的轉(zhuǎn)化．] 　　由②得CO2＝AO·BO， 　　即(－k)2＝(－k)×1， 　　[注意：這里又是點A的橫坐標k和線段AO的長(－k＝線段AO的長)、點C的縱坐標－k和線段CO的長(－k＝線段CO的長)、點B的橫坐標1與線段BO的長(1＝線段BO的長)之間的轉(zhuǎn)化．] 　　解得k＝0或k＝－1． 　　∵k＜0， 　　∴k＝－1． 　　所以存在k＝－1，使△AOC∽△BOC或△AOC∽△COB． 　　點評：坐標軸上的點坐標與線段的長的轉(zhuǎn)化，不容忽視的基礎知識是：x軸正半軸上的點的橫坐標為正，負半軸上的點的橫坐標為負；y軸正半軸上的點的縱坐標為正，負半軸上的點的縱坐標負．在解題過程中應切記． 　　分析：先由拋物線解析式確定A、B、C三點的坐標，再根據(jù)題意進行探求．