Question

5．如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點O，點P、D分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E．
（1）若PB平分∠ABO，求證：AP=CD；
（2）若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（2）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD=$\sqrt{2}$x，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖1，

∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠ABP=∠4}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（2）CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AP′．如圖2，

理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由△OBP≌△EPD，得BO=PE，
PE=2x，CE=2x-x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD=$\sqrt{2}$x，
即AP=3x，CD=$\sqrt{2}$x，
∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′=$\frac{\sqrt{2}}{3}$AP′．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．