Question

4．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的有①②⑤（寫出所有正確結(jié)論的序號）
①△CMP∽△BPA；
②四邊形AMCB的面積最大值為10；
③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段NP的中垂線；
④線段AM的最小值為2$\sqrt{5}$；
⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP=4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 ①正確，只要證明∠APM=90°即可解決問題．
②正確，設(shè)PB=x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可．
③錯(cuò)誤，設(shè)ND=NE=y，在RT△PCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題．
④錯(cuò)誤，作MG⊥AB于G，因?yàn)锳M=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，所以AG最小時(shí)AM最小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3，AM的最小值為5．
⑤正確，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，列出方程即可解決問題．

解答 解：∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，
∴∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正確，
設(shè)PB=x，則CP=4-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{1}{4}$x（4-x），
∴S_{四邊形AMCB}=$\frac{1}{2}$[4+$\frac{1}{4}$x（4-x）]×4=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
∴x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確，
當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí)，設(shè)ND=NE=y，
在RT△PCN中，（y+2）²=（4-y）²+2²解得y=$\frac{4}{3}$，
∴NE≠EP，故③錯(cuò)誤，
作MG⊥AB于G，
∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{16+A{G}^{2}}$，
∴AG最小時(shí)AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-$\frac{1}{4}$x（4-x）=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴x=2時(shí)，AG最小值=3，
∴AM的最小值=$\sqrt{16+9}$=5，故④錯(cuò)誤．
∵△ABP≌△ADN時(shí)，
∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，
∴∠KPA=∠KAP=22.5°
∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，
∴∠BPK=∠BKP=45°，
∴PB=BK=z，AK=PK=$\sqrt{2}$z，
∴z+$\sqrt{2}$z=4，
∴z=4$\sqrt{2}$-4，
∴PB=4$\sqrt{2}$-4，故⑤正確．
故答案為①②⑤．

點(diǎn)評 本題考查相似形綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．