Question

如圖所示，拋物線y=x²-2x-3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，直線y=x-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，連接AC． 
（1）求tan∠ACO； 
（2）在直線BC下方的拋物線上有一點(diǎn)M，使得四邊形ABMC面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)并寫出四邊形ABMC面積的最大值； 
（3）點(diǎn)H在拋物線上，當(dāng)∠HBC=∠ACO時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0，解方程得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式即可；
（2）先求出△ABC的面積，然后判斷出△BCM的面積最大時(shí)四邊形ABMC面積最大，求出直線BC的解析式，設(shè)過(guò)點(diǎn)M與y軸平行的直線與BC相交于點(diǎn)N，表示出MN，再表示出△BCM的面積，然后利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)以及△BCM的面積，最后求解即可；
（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出∠BCD=90°，再求出∠CBD的正切值，得到∠DBC=∠ACO，從而確定出點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，再求出點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D′，再求出直線BD′的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
令x=0，則y=-3，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
所以，tan∠ACO=

AO

CO

=

1

3

；

（2）∵AB=3-（-1）=4，OC=3，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，
所以，△BCM的面積最大時(shí)四邊形ABMC面積最大，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 b=-3

，
解得

k=1 b=-3

，
所以，直線BC的解析式為y=x-3，
設(shè)過(guò)點(diǎn)M與y軸平行的直線與BC相交于點(diǎn)N，
則MN=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x，
S_△BCM=

1

2

（-x²+3x）×3=-

1

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∵a=-

1

2

，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，△BCM的面積最大，最大值為

27

8

，
此時(shí)，y=（

3

2

）²-2×

3

2

-3=-

15

4

，
所以，當(dāng)點(diǎn)M（

3

2

，-

15

4

）時(shí)，四邊形ABMC面積最大，最大值為6+

27

8

=

75

8

；

（3）①∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴∠BCO=45°，CD與y軸的夾角為45°，
∴∠BCD=90°，
∵BC=

32+32

=3

2

，CD=

12+(-3+4)2

=

2

，
∴tan∠CBD=

2

3 2

=

1

3

，
∴∠DBC=∠ACO，
∴點(diǎn)H與點(diǎn)D重合，
故，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，-4），
②∵點(diǎn)D（1，-4），C（0，-3），
∴點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D′（-1，-2），
設(shè)直線BD′的解析式為y=mx+n，
則

3m+n=0 -m+n=-2

，
解得

m= 1 2 n=- 3 2

，
所以，直線BD′的解析式為y=

1

2

x-

3

2

，
聯(lián)立

y=x2-2x-3 y= 1 2 x- 3 2

，
解得

x1=3 y1=0

（為點(diǎn)B坐標(biāo)，舍去），

x2=- 1 2 y2=- 7 4

，
所以，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（-

1

2

，-

7

4

），
綜上所述，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，-4）或（-

1

2

，-

7

4

）時(shí)，∠HBC=∠ACO．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，難點(diǎn)在于（3）先判斷出頂點(diǎn)坐標(biāo)D為所求的點(diǎn)H之一．