Question

設(shè)P、Q為線段BC上兩定點(diǎn)，且BP=CQ，A為BC外一動(dòng)點(diǎn)，如圖，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到使∠BAP=∠CAQ時(shí)，△ABC的形狀是________．

Answer 1

等腰三角形
分析：假設(shè)AB≠AC，不妨設(shè)AB＞AC，則∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，則AP＞AQ．然后在△ABQ、△ACQ中分別應(yīng)用正弦定理求得AP•AB=AC•AQ；又有AB＞AC推知AP＜AQ，這與AP＞AQ矛盾，所以假設(shè)不成立，故而AB=AC，所以該三角形是等腰三角形．
解答：反證法．
假設(shè)AB≠AC，不妨設(shè)AB＞AC，則∠B＜∠C，故∠QPA＜∠AQP，則AP＞AQ，
在△ABQ、△ACQ中分別應(yīng)用正弦定理，得
===，
則==，
∴AP•AB=AC•AQ
又∵AB＞AC，
∴AP＜AQ，這與AQ＞AQ矛盾，
∴AB=AC，從而△ABC為等腰三角形．
故答案為：等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰三角形的判定、正弦定理與余弦定理．解答此題時(shí)，采用了“反證法”．