Question

（2013•南崗區(qū)一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點0為坐標(biāo)原點，點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的正半軸上，矩形AOCB的對角線OB所在的直線的解析式為y=

1

2

x，且0B=4

5

．
（1）求B點坐標(biāo)．
（2）如圖2，點M是OC中點，動點D在線段OM上運動（不與0、M兩點重合），點E在邊AB上，且AD=DE，點F在射線DE上，且AF=AD，設(shè)∠FAE=m°，∠OAD=n°，求出m與n之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量n的取值范圍；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BF，若∠DFB=90°，求n的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點B的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)直線解析式表示出點B的縱坐標(biāo)，然后利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）過點D作DH⊥AB于H，求出OA∥DH，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADH=∠OAD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠ADE=2∠ADH，根據(jù)等邊對等角可得∠F=∠ADE，然后表示出∠DAF，再利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（3）延長BF交y軸于T，過點A作AG⊥FT于G，作AK⊥DF于K，求出∠ABT=∠ADH，然后判定△ABT和△HDA相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出AT=2AH，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AE=2AH，從而得到AT=AE，然后利用“角角邊”證明△ATG和△AEK全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=AK，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判定AF為∠TFD的平分線，求出∠AFD=∠ADF=45°，從而得解．

解答：解：（1）設(shè)點B的橫坐標(biāo)為x，
∵點B在直線y=

1

2

x上，
∴點B的縱坐標(biāo)為

1

2

x，
在Rt△OBC中，OB²=OC²+BC²，
∴（4

5

）²=x²+（

1

2

x）²，
解得x=8，

1

2

x=

1

2

×8=4，
所以，點B的坐標(biāo)為（4，8）；

（2）如圖2，過點D作DH⊥AB于H，則∠DHB=∠OAB=90°，
∴OA∥DH，
∴∠ADH=∠OAD=n°，
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，∠ADE=2∠ADH=2n°，
∵AD=AF，
∴∠F=∠ADE=2n°，
又∵∠DAF=∠DAH+∠FAE=90°-n°+m°，
∴在△ADF中，2n°+2n°+90°-n°+m°=180°，
整理得，m=-3n+90，
由-3n+90＞0得，n＜30，
∴m=-3n+90（0＜n＜30）；

（3）如圖3，延長BF交y軸于T，過點A作AG⊥FT于G，作AK⊥DF于K，
∵∠DFB=90°，
∴∠ABT+∠BEF=90°，
又∵∠DAE=∠DEA=∠BEF=∠ATB，
∴∠ADH+∠BEF=90°，
∴∠ABT=∠ADH，
又∵∠AHD=∠BAT=90°，
∴△ABT∽△HDA，
∴

AT

AH

=

AB

DH

=

8

4

=2，
∴AT=2AH，
根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)，AE=2AH，
∴AT=AE，
∵在△ATG和△AEK中，

∠ATB=∠DEA ∠AGT=∠AKE=90° AT=AE

，
∴△ATG≌△AEK（AAS），
∴AG=AK，
∴AF為∠TFD的平分線，
∴∠AFD=∠ADF=

1

2

×90°=45°，
2n=45°，
解得n=22.5°．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定，綜合性較強，難度較大，（3）作輔助線構(gòu)造出相似三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．