Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是

AC

的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，交AC于F，連接BD交AC于G，下列結(jié)論：①AF=DF；②DE=

1

2

AC；③CG=FG；④OF=

1

2

BG．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連結(jié)AD、CD、BC，DE交⊙O于Q，如圖，根據(jù)垂徑定理，由DE⊥AB得

AD

=

AQ

，加上

AD

=

CD

，則

AQ

=

CD

，于是根據(jù)圓周角定理得到∠ADQ=∠DAC，所以AF=DF；由

AD

=

CD

=

AQ

得到

AC

=

AQ

，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得AC=AQ，再根據(jù)垂徑定理由DE⊥AB得DE=QE，所以DE=

1

2

AC；根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=∠ACB=90°，然后證明∠1=∠2得到FD=FG，加上FA=FD，所以FA=FG，接著在△ADF和△CDG中，∠DAF=∠DCG，DA=DC，假設(shè)CG=FG，則AF=CG，則可判斷△ADF≌△CDG，而△ADF為等腰三角形，所以△DCG也為等腰三角形，于是得到∠DCA=∠CDB，所以點(diǎn)C為BD弧的中點(diǎn)，即C、D為半圓的三等分點(diǎn)，這與題設(shè)不符，所以CG與FG不能確定相等；然后證明OF為△ABG的中位線，即可得到OF=

1

2

BG．

解答：解：連結(jié)AD、CD、BC，DE交⊙O于Q，如圖，
∵DE⊥AB，
∴

AD

=

AQ

，
∵D是

AC

的中點(diǎn)，
∴

AD

=

CD

，
∴

AQ

=

CD

∴∠ADQ=∠DAC，
∴AF=DF，所以①正確；
∵

AD

=

CD

=

AQ

，
∴

AC

=

AQ

，
∴AC=AQ，
∵DE⊥AB，
∴DE=QE，
∴DE=

1

2

DQ，
∴DE=

1

2

AC，所以②正確；
∵AB為直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠2+∠ADQ=90°，∠3+∠4=90°，
而∠3=∠1，∠4=∠ADQ，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG，
而FA=FD，
∴FA=FG，
在△ADF和△CDG中，
∠DAF=∠DCG，DA=DC，
若CG=FG，則AF=CG，則可判斷△ADF≌△CDG，
而△ADF為等腰三角形，所以△DCG也為等腰三角形，于是得到∠DCA=∠CDB，
所以點(diǎn)C為BD弧的中點(diǎn)，即C、D為半圓的三等分點(diǎn)，這與題設(shè)不符，
所以CG與FG不能確定相等，所以③錯(cuò)誤；
∵AF=FG，OA=OB，
∴OF為△ABG的中位線，
∴OF=

1

2

BG，所以④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)．