Question

如圖，在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交BC于D，過C作⊙O的切線，交AB的延長線于P，∠PCB=

1

2

∠BAC．
（1）求證：AB=AC；
（2）若sin∠BAC=

3

5

，求tan∠PCB的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AD，由切線的性質(zhì)及圓周角定理可證明∠CAD=∠BAD，可證明∠ABC=∠ACB，可證明AB=AC；
（2）過B作BE⊥AC于點E，可得∠PCB=∠CBE，在Rt△ABE和△BCE中可求得tan∠PCB．

解答：（1）證明：如圖1，連接AD，

∵AC為直徑，PC為⊙O的切線，
∴∠PCA=∠CDA=90°，
∴∠PCB+∠DCA=∠DCA+∠DAC，
∴∠PCB=∠DAC，
又∵∠PCB=

1

2

∠BAC，
∴∠BAD=∠PCB，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）解：如圖2，過B作BE⊥AC于點E，

∵sin∠BAC=

3

5

，
∴可設(shè)BE=3x，則AB=5x，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求得AE=4x，
又∵AC=AB=5x，
∴CE=AC-AE=5x-4x=x，
∴tan∠CBE=

CE

BE

=

1

3

，
又∵PC⊥AC，
∴BE∥PC，
∴∠CBE=∠PCB，
∴tan∠PCB=

1

3

．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和三角函數(shù)的定義，掌握過切點的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵，在（2）中注意三角函數(shù)的定義．