Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD⊥AB，垂足是點D，E是BC上一點，CE=AF，
（1）探索△DEF是怎樣的一個三角形，并進行證明．
（2）證明：S_{四邊形CFDE}=S_△ABC．

Answer 1

（1）△DEF是等腰直角三角形．
證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
又CD⊥AB，
∴CD是斜邊AB上的中垂線，∠ACB的角平分線，
∴AD=CD=BD，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°；
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DF=DE（全等三角形的對應邊相等），∠ADF=∠CDE（全等三角形的對應角相等），
∴∠FDC+∠ADF=∠CDE+∠FDC，即∠ACD=∠EDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；

（2）證明：由（1）知，△AFD≌△CED，
∴S_△AFD=S_△CED（全等三角形的面積相等）；
又∵S_{四邊形CFDE}=S_△CFD+S_△CED，
∴S_{四邊形CFDE}=S_△CFD+S_△AFD=S_△ACD；
∵△ABC是等腰直角三角形，CD是斜邊AB上的中垂線，
∴S_△ACD=S_△ABC，
∴S_{四邊形CFDE}=S_△ABC．
分析：（1）根據(jù)已知條件“∠ACB=90°，CA=CB”推知三角形ABC是等腰直角三角形；然后由“CD⊥AB”知CD是斜邊AB上的中垂線，∠ACB的角平分線，所以接下來可以證明△AFD≌△CED（SAS）；所以DF=DE（全等三角形的對應邊相等），∠ADF=∠CDE（全等三角形的對應角相等）；最后根據(jù)∠FDC+∠ADF=∠CDE+∠FDC推知∠ACD=∠EDF=90°，故三角形EDF是等腰直角三角形；
（2）利用（1）中的△AFD≌△CED（SAS）知，S_△AFD=S_△CED，所以S_{四邊形CFDE}=S_△CFD+S_△AFD=S_△ACD=S_△ABC．
點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．熟練運用等腰直角三角形三線合一性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關鍵．