Question

20．在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓O，P是BC邊上一動點（不與B、c重合），過點P作半圓O的切線，與過A點的垂線交于點Q．AC與PQ，OQ分別交于點E，F(xiàn)，如果P，C，F(xiàn)三點構(gòu)成的三角形與△AEO相似，那么∠CPF的度數(shù)是90°或60°．

Answer 1

分析 解根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠C=∠BAC=45°，①當(dāng)∠CPF=∠AEO時，如圖1，得到∠AQG=∠AEO，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠AQE=$\frac{1}{2}∠$AQE，等量代換得到∠AQE=$\frac{1}{2}$∠AEO，求得∠QAE=$\frac{1}{2}∠$AEO，得到結(jié)論；②當(dāng)∠CPF=∠AOE時，如圖2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AQP+∠BPQ=180°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OQP+∠OPQ=$\frac{1}{2}$（∠AQP+∠BPQ）=90°，等量代換得到∠OPQ=∠AOQ=∠OBP，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵∠ABC=90°，AQ⊥AB，AB為半圓O的直徑，
∴AQ與BC是半圓O的切線，
∴AQ∥BC，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∵P，C，F(xiàn)三點構(gòu)成的三角形與△AEO相似，
∴①當(dāng)∠CPF=∠AEO時，如圖1，
∴∠AQG=∠AEO，
∵AQ，GQ是半圓O的切線，
∴∠AQE=$\frac{1}{2}∠$AQE，
∴∠AQE=$\frac{1}{2}$∠AEO，
∵∠AEO=∠AQE+∠QAE，
∴∠QAE=$\frac{1}{2}∠$AEO，
∵∠QAE=45°，
∴∠AEO=90°，
∴∠CPF=90°；
②當(dāng)∠CPF=∠AOE時，如圖2，
∵AQ∥BC，
∴∠AQP+∠BPQ=180°，
∵PQ，AQ，BP是半圓O的切線，
∴∠OQP+∠OPQ=$\frac{1}{2}$（∠AQP+∠BPQ）=90°，
∴∠OPQ=∠AOQ=∠OBP，
∴∠CPF=∠FPO=∠BPO=60°．
綜上所述：如果P，C，F(xiàn)三點構(gòu)成的三角形與△AEO相似，那么∠CPF的度數(shù)是90°或60°，
故答案為：90°或60°．

點評 本題考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．