Question

如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過t 秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的解析式為y = a (x +3 )(x - 4)，因?yàn)锽（0，4）在拋物線上， 所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得， 所以拋物線解析式為； （2） 連接DQ，在Rt△AOB中，，所以AD=AB= 5， AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 - 5 = 2，因?yàn)锽D垂直平分PQ，所以PD=QD， PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因?yàn)锳D=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以 DQ∥AB，所以∠CQD=∠CBA�！螩DQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB， 即 所以AP=AD - DP = AD - DQ=5 -= ，  所以t的值是； （3）對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最�。� 理由：因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸為 所以A（- 3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．連接AQ交直線 于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小．過點(diǎn)Q作QE⊥x軸，于E，所以∠QED=∠BOA=90° DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，∴△DQE ∽△ABO． 即，所以QE=，DE=，所以O(shè)E = OD + DE=2+=， 所以Q（，）． 設(shè)直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯(lián)立 由此得 所以M 則：在對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M，使MQ+MC的值最�。�