Question

1．觀(guān)察等式：①$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；②$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；③$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；④$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…
（1）試用字母n的等式表示出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并證明該等式成立；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{2016}{2017}$．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)連續(xù)自然數(shù)積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差得出第n個(gè)等式，利用分式的運(yùn)算法則即可驗(yàn)證式子成立；
（2）將原式利用以上規(guī)律變形為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$，兩兩相消即可得出答案．

解答 解：（1）由題意知，第n個(gè)等式為$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∵右邊=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=左邊，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意得出連續(xù)自然數(shù)積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)的差是解題的關(guān)鍵．