Question

三角形中的計(jì)算：
（1）如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠B=30°，AB=4

3

，求CD的長．
（2）已知，如圖，△ABC中，∠A=30°，∠B=135°，AC=10，求AB及BC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：

分析：（1）先在Rt△ABC中利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AC=

1

2

AB=2

3

，再求出∠A=60°，然后解Rt△ACD，即可求出CD的長；
（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長線于點(diǎn)D．解Rt△ACD得出CD=

1

2

AC=5，AD=5

3

，再證明△BCD是等腰直角三角形，于是BC=

2

CD=5

2

，BD=CD=5，那么AB=AD-BD=5

3

-5．

解答：解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4

3

，
∴AC=

1

2

AB=2

3

，∠A=90°-∠B=60°．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=60°，
∴CD=AC•sin∠A=2

3

×

3

2

=3；

（2）如圖2，過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長線于點(diǎn)D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=30°，AC=10，
∴CD=

1

2

AC=5，AD=AC•cos∠A=10×

3

2

=5

3

．
∵∠BDC=90°，∠CBD=180°-∠ABC=180°-135°=45°，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=

2

CD=5

2

，BD=CD=5，
∴AB=AD-BD=5

3

-5．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決問題（2）的關(guān)鍵．