Question

如圖，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝16 cm，動點O由點A沿AD向點D以1 cm/s的速度勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間t小于8 s．以點O為圓心，OA為半徑的圓交AD于點E，過點E作⊙O的切線交BC于點G，過點D在矩形內(nèi)作⊙O的切線交GE于H，切點為F，連接GF．

(1)點O在運(yùn)動過程中，點G、F、O能否在同一直線上？若能，求出此時運(yùn)動時間t的值；若不能，請說明理由；

(2)當(dāng)點O運(yùn)動時間為6 s時，求GF的長．

Answer 1

答案：
解析：

(1)若G、F、O三點在同一條直線上，則∠GFD＋∠DFO＝180°， 　　又∵DF為⊙O的切線，∴∠DFO＝90°， 　　GE為⊙O的切線，∴∠GEO＝90°，又∵EO＝OF＝r，∠GOE＝∠EOG， 　　∴△GEO≌△DFO，即DF＝GE＝6cm， 　　又∵DF2＝DO2－OF2，∴36＝(16－t)2－t2，∴t＝， 　　即，當(dāng)∴t＝s時，G、F、O三點在同一條直線上； 　　(2)連接E、F，若t＝6s，則DO＝16－6＝10 cm， 　　在Rt△DOF中，DF＝8 cm，又∵GE為切線，∴GE⊥AE， 　　在Rt△DEH中，DF＝8 cm，DE＝4 cm， 　　∴HE＝3 cm，又∵AB＝GE＝6 cm，∴GH＝HE＝6cm，又∵HF、HE為切線， 　　∴HF＝HE，∴GH＝HF＝HE＝3 cm，∴△GEF為直角三角形，∠GFE＝90°， 　　方法一：連接FA，∠GEF＋∠FEA＝90°，∴∠EGF＝∠FEA， 　　AE為⊙O直徑，∴∠EFA＝90°，∴△GEF∽△EAF，∴EF∶FA＝1∶2， 　　由AE＝12cm，知EF2＋FA2＝AE2，即EF＝，∴GF＝． 　　方法二：AE為⊙O直徑，∴∠EFA＝90°，∴G、F、A在同一直線上， 　　∴GF∶EF＝GE∶AE＝1∶2，在Rt△GEF中，可求GF＝．