Question

13．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，點E在AC上，M為BE的中點
（1）求證：AE=2DM；
（2）將圖1中的△CDE旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試探究AE與DM之間的等量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，延長ED交BC于N，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC，DE=CD，推出△ECN是等腰直角三角形，得到CE=CN，求得AE=BN，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)到DM=$\frac{1}{2}$BN，等量代換得到結(jié)論；
（2）如圖2，延長ED到N使DN=DE，推出△CEN是等腰直角三角形，得到∠ACE=∠BCN，通過△ACE≌△BCN，得到AE=BN，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長ED交BC于N，
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，DE=CD，
∵∠ACB=90°，∠ECD=45°，
∴∠CDN=90°，∠DCN=45°，
∴△ECN是等腰直角三角形，
∴CE=CN，
∴AC-CE=BC-CN，
即AE=BN，
∵EM=BM，
∴DM=$\frac{1}{2}$BN，
∴AE=2DM；

（2）AE=2DM，如圖2，延長ED到N使DN=DE，
∵∠CDN=90°，
∴CD⊥EN，
∴CN=CE，
∴△CEN是等腰直角三角形，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCN，
在△ACE與△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCN}\\{CE=CN}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCN，
∴AE=BN，
∵BM=EM，
∴DM=$\frac{1}{2}$BN，
∴AE=2DM．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．