Question

一塊空地，如圖，AC=BC，∠ACB=90°，∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，在△ADC中種紅花，△DCE中種紫花，△BCE中種黃花，紅花、紫花、黃花每平方米要投入8元、10元、12元，問共需投入多少元？

Answer 1

解：如圖，∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
把△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFC，
則AF=BE=44，CF=CE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，
∴∠DAF=45°+45°=90°，
在Rt△ADF中，DF===5m，
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠DCF=∠ACF+∠ACD=∠BCE+∠ACD=∠ACB-∠DCE=90°-45°=45°，
∴∠DCF=∠DCE，
在△DCF和△DCE中，，
∴△DCF≌△DCE（SAS），
∴DE=DF=5m，
∴AB=AD+DE+BE=3+5+4=12m，
∵AC=BC，∠ACB=90°
∴斜邊AB邊上的高為AB=×12=6m，
S_△ADC=×3×6=9m²，S_△CDE=×5×6=15m²，S_△BCE=×4×6=12m²，
∴總投入為：8×9+10×15+12×12=72+150+144=366元．
分析：把△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AFC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=BE，CF=CE，∠ACF=∠BCE，∠CAF=∠B=45°，再求出∠DAF=90°，利用勾股定理列式求出DF，再求出∠DCF=45°，從而得到∠DCF=∠DCE，然后利用“邊角邊”證明△DCF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=DF，從而求出AE的長，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出斜邊AB上的高，然后分別求出三個三角形的面積，便不難求出總投資．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．