Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交軸于A、B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A、B，且其頂點在⊙C上．

（1）求出A、B兩點的坐標(biāo)；（5分）

（2）試確定此拋物線的解析式；（5分）

（3）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4分）

 

Answer 1

【答案】

（1）作CH⊥x軸，垂足為H，

根據(jù)垂徑定理，得 AH=BH.

∵ CH=1，半徑CB=2，

根據(jù)勾股定理，得HB =

故，

（2）由圓與拋物線的對稱性可知，拋物線的頂點P的坐標(biāo)為（1， 3）

設(shè)拋物線解析式為

把點代入上式，解得a = -1    

∴             

即 （沒有這一步不扣分）

（3）假設(shè)存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形.

∴ PC∥OD且PC=OD．

∵ PC∥y軸，

∴ 點D在軸上．   

又∵ PC = 2，

∴ OD = 2，即D（0，2）．

又D（0，2）滿足，

∴ 點D在拋物線上

所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．

【解析】（1）根據(jù)垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據(jù)C點的坐標(biāo)即可得出A、B兩點的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點的坐標(biāo)為（1，3）．然后可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式．根據(jù)A或B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式．

（3）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點在y軸上，且坐標(biāo)為（0，2）．然后將D點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點．