Question

如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE= 5cm，且tan∠EFC=.

（1）△AFB 與△FEC有什么關(guān)系？ 試證明你的結(jié)論。

（2）求矩形ABCD的周長。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）△AFB∽△FEC. 

證明：由題意得：∠AFE=∠D=90° 又∠B=∠C=90°

 ∴∠BAF+∠AFB=90° , ∠EFC+∠AFB=90°

∴∠BAF=∠EFC     ∴    AFB∽△FEC

（2）設(shè)EC=3x,FC=4x，則有DE=EF=5x ，∴AB=CD=3x+ 5x=8x

由△AFB∽△FEC得：     即： =  ∴BF=6x   ∴BC=BF-CF=6x+ 4x= 10x

∴在Rt△ADE中，AD=BC=10x，AE=，則有

解得（舍去）   ∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)    答：矩形ABCD的周長為36cm.

【解析】（1）由四邊形BCD是矩形，可得∠AFE=∠D=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAF=∠EFC，即可證得：△AFB∽△FEC；

（2）由Rt△FEC中，tan∠EFC=，可得，則可設(shè)CE=3k，則CF=4k，由勾股定理得EF=DE=5k．繼而求得BF與BC，則可求得k的值，由矩形ABCD的周長=2（AB+BC）求得結(jié)果．