Question

對整系數(shù)的二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b，方程f（x）=0的解α與β滿足不等式α＞1，-1＜β＜1．
（1）寫出a與b滿足的不等式；
（2）當(dāng)a固定時，在（1）的關(guān)系滿足時，求使α為最小時的b，把它用a表示出來；
（3）在（1）的關(guān)系滿足時求使α為最小時的a與b的值，并求此α的最小值．

Answer 1

解：（1）依題意，得f（-1）＞0且f（1）＜0，
即1-a+b＞0，1+a+b＜0，
解得a＜-b-1或a＜b+1；
（2）由已知得α＞β，由求根公式可知α=，
∴當(dāng)a固定時，b最大時，α最小，由（1）的范圍可知a＜-b-1；
（3）由α=，可知α最小時，a最大，b最大，
由（1）可知：a＜b+1；
此時a=b，當(dāng)△=a²-4b=0時，α最小，解得a=b=4，α=-2．
分析：（1）拋物線開口向上，故當(dāng)f（-1）＞0且f（1）＜0，即當(dāng)1-a+b＞0，1+a+b＜0時，滿足條件，依此列不等式即可；
（2）由已知得α＞β，由求根公式可知α=，β=，由此可知，當(dāng)a固定時，b最大時，α最小，由（1）的范圍可知a＜-b-1；
（3）由求根公式α=，可知α最小時，a最大，b最大，此時，（1）中兩個不等式解集公共部分為a＜b+1，根據(jù)a、b為整數(shù)得出a=b，利用△=0求解．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)范圍求出a、b的大小關(guān)系，利用求根公式進(jìn)行討論．