Question

15．如圖①所示，直線l：y=kx+5k與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點．
（1）當(dāng)OA=OB時，試確定直線l的解析式；
（2）在（1）的條件下，如圖②所示，設(shè)Q為AB延長線上一點，連接OQ，過A、B兩點分別作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若BN=3，MN=7，求AM的長；
（3）當(dāng)k取不同的值時，點B在y軸正半軸上運(yùn)動，分別以O(shè)B、AB為邊在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，連EF交y軸于P點，問當(dāng)點B在y軸正半軸上運(yùn)動時，試猜想PB的長是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）要求直線解析式，就是要確定k的值，先求出A的坐標(biāo)，再根據(jù)OA=OB即可求出k；
（2）先求出ON的長，再證明△AMO≌△ONB，得出對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)果；
（3）通過兩次全等，尋找相等線段，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求PB的長．

解答 解：（1）∵直線L：y=kx+5k，
∴A（-5，0），B（0，5k），
由OA=OB得5k=5，k=1，
∴直線解析式為：y=x+5；
（2）∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，ON=$\sqrt{O{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴∠OAM=∠BON，
在△AMO和△OBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAM=∠BON}&{\;}\\{∠AMO=∠ONB}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMO≌△OBN（AAS），
∴AM=ON=4；
（3）PB的長為定值：PB=$\frac{5}{2}$；理由如下：
如圖所示：作EK⊥y軸于K點；則∠BKE=90°，
∵△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠ABE=90°，
∴∠ABO+∠EBK=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBK，
在△ABO和△BEK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠EBK}&{\;}\\{∠AOB=∠BKE}&{\;}\\{AB=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BEK（AAS），
∴OA=BK，EK=OB，
∵OB=BF，
∴EK=BF，
在△PKE和△PBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EKP=∠FBP=90°}&{\;}\\{∠EPK=∠FPB}&{\;}\\{EK=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PKE≌△PBF（AAS），
∴PK=PB．
∴PB=$\frac{1}{2}$BK=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)解析式的求法、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)；特別是（3）中，需通過證明兩次三角形全等才能得出結(jié)論．