Question

1．原問題：如圖1，已知△ABC，AC=BC，∠C=90°，D是AB邊的中點，E、F分別在AC、BC上，且∠EDF=∠A+∠B．求證：DE=DF．請解答下列問題：
（1）填空完成原問題的證明思路：連接CD，可證△ADE≌△CDF，因此DE=DF；
（2）如圖2，若將原問題中的“∠C=90°”去掉，其他條件不變，探究DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）如圖3，若將原問題中的“AC=BC”改為BC=kAC，其他條件不變，探究DE與DF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（4）根據(jù)前面的探究和圖4，你能否將問題推廣到一般的三角形情況？若能，請寫出推廣命題；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接CD，根據(jù)全等三角形的判定定理證明△ADE≌△CDF即可；
（2）延長FD至G，使DG=FD，連接GA、GE，證明△AGD≌△BFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理證明；
（3）作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，證明△EDM∽△FDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理解答；
（4）根據(jù)（2）（3）的結(jié)論，解答即可．

解答 解：（1）如圖1，連接CD，
∵AC=BC，∠C=90°，D是AB邊的中點，
∴CD=AD，CD⊥AB，∠A=∠B=∠DCB=45°，
∵∠EDF=∠A+∠B，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
故答案為：ADE；CDF；
（2）DE=DF．
理由如下：如圖2，延長FD至G，使DG=FD，連接GA、GE，
在△AGD和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADG=∠BDF}\\{DG=DF}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△BFD，
∴∠GAD=∠B，又∠EDF=∠A+∠B，
∴∠EDF=∠GAE，
∴A、E、D、G四點共圓，
∴∠GED=∠GAD=∠B，∠EGD=∠DAE，
∴∠GED=∠EGD，
∴DG=DE，又DG=FD，
∴DE=DF；
（3）DE=kDF，
如圖3，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∵∠EDF=∠A+∠B=90°，∠MDN=90°，
∴∠EDM=∠FDN，又∠DME=∠DNF=90°，
∴△EDM∽△FDN，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DM}{DN}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AC}$=k；
（4）如圖4，由（2）（3）得，在△ABC中，AC=nBC，D是AB邊的中點，E、F分別在AC、BC上，且∠EDF=∠A+∠B，則DE=nDF．

點評 本題考查了全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)、相似三角形的判定以及相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△ADE≌△CDF和△EDM∽△FDN是解題的關(guān)鍵．