Question

6．如圖1，菱形ABCD中，AB=10，連接BD，tan∠ABD=$\frac{1}{2}$，若P是射線BC上的一個動點（點P不與點B重合），連接AP，與對角線相交于點E，連接EC．
（1）求證：AE=CE；
（2）當點P在線段BC上時，設BP=x，S_△EPC=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當點P在線段BC的延長線上時，若△EPC是直角三角形，求線段BP的長．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS證明△ABE≌△CBE，即可得出結論．
（2）聯(lián)結AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EF⊥BC于F，由菱形的性質得出AC⊥BD．由三角函數(shù)求出AO=OC=2$\sqrt{5}$，BO=OD=4$\sqrt{5}$．由菱形面積得出AH=8，BH=6．由相似三角形的性質得出比例式，求出EF的長，即可得出答案；
（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．分情況討論：
①當∠ECP=90°時，②當∠CEP=90°時，由全等三角形的性質和相似三角形的性質即可得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE
∴AE=CE．

（2）解：連接AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BC，如圖1所示：
垂足分別為點H、F．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵AB=10，tan∠ABD=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$，
∴AO=OC=2$\sqrt{5}$，BO=OD=4$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，BD=8$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$AC•BD=BC•AH，
∴AH=8，∴BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=6．
∵AD∥BC，∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{EP}=\frac{AD}{BP}$，
∴$\frac{AE+EP}{EP}=\frac{AD+BP}{BP}$，
∴$\frac{AP}{EP}$=$\frac{10+x}{x}$，
∴$\frac{EP}{AP}$=$\frac{10+x}{x}$．
∵EF∥AH，
∴$\frac{EF}{AH}=\frac{EP}{AP}$，
∴EF=$\frac{8x}{10+x}$．
∴y=$\frac{1}{2}$PC′EF=$\frac{1}{2}$（10-x）•$\frac{8x}{10+x}$=$\frac{20x-4{x}^{2}}{10+x}$，
即y═$\frac{20x-4{x}^{2}}{10+x}$，（0＜x＜10）．

（3）解：因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．如圖2所示：
①當∠ECP=90°時
∵△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE=90°，
∵cos∠ABP=$\frac{AB}{BP}$=$\frac{BH}{AB}$，即$\frac{10}{BP}=\frac{3}{5}$
∴BP=$\frac{50}{3}$．
②當∠CEP=90°時，
∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB=45°，
∴AO=OE=2$\sqrt{5}$，
∴ED=2$\sqrt{5}$，BE=6$\sqrt{5}$．
∵AD∥BP，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{10}{BP}=\frac{2\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}$，
∴BP=30．
綜上所述，當△EPC是直角三角形時，線段BP的長為$\frac{50}{3}$或30．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．