Question

如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：

①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=BD；其中正確結(jié)論的是（ ）

(A)①②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)②③④

 

 

Answer 1

C.

【解析】

試題分析：∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAC=60°，AE=AC，

∵∠BAC=30°，

∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，

∵F為AB的中點(diǎn)，

∴AB=2AF，

∴BC=AF，

∴△ABC≌△EFA，

∴FE=AB，

∴∠AEF=∠BAC=30°，

∴EF⊥AC，故①正確，

∵EF⊥AC，∠ACB=90°，

∴HF∥BC，

∵F是AB的中點(diǎn)，

∴HF=BC，

∵BC=AB，AB=BD，

∴HF=BD，故④說(shuō)法正確；

∵AD=BD，BF=AF，

∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，

∴∠DFB=∠EAF，

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=30°，

∴∠BDF=∠AEF，

∴△DBF≌△EFA（AAS），

∴AE=DF，

∵FE=AB，

∴四邊形ADFE為平行四邊形，

∵AE≠EF，

∴四邊形ADFE不是菱形；

故②說(shuō)法不正確；

∴AG=AF，

∴AG=AB，

∵AD=AB，

則AD=4AG，故③說(shuō)法正確，

故選C.

考點(diǎn)：1.菱形的判定；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.含30度角的直角三角形