Question

2．如圖，以△ABC的邊AB，BC為邊，在△ABC外作兩個(gè)等邊△ABD和△BCE，連接AE，CD交于F點(diǎn)（注：等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都是60°）
（1）求證：AE=CD；
（2）求∠CFE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，再求出∠DBC=∠ABE，再利用“邊角邊”證明△ABE和△DBC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEB=∠DCB，然后求出∠CEF+∠ECF=∠BEC+∠BCE=120°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計(jì)算即可得解．

解答 （1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
即∠DBC=∠ABE，
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠DBC=∠ABE}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；

（2）解：∵△ABE≌△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∴∠CEF+∠ECF，
=∠CEF+∠BCE+∠DCB，
=∠CEF+∠AEB+∠DCB，
=∠BEC+∠BCE，
=60°+60°，
=120°，
在△CEF中，∠CFE=180°-（∠CEF+∠ECF）=180°-120°=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖確定出全等的三角形是解題的關(guān)鍵．