Question

如圖，過點P（2，）作x軸的平行線交y軸于點A，交雙曲線（x＞0）于點M，連接AN=6．
（1）求k的值；
（2）求直線MN的函數(shù)解析式；
（3）試判斷△AMN的形狀？并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵P（2，），AN∥x軸，
∴N的縱坐標(biāo)為，
∵AN=6，
∴N的橫坐標(biāo)為6，
∴N（6，），
∴k=xy=6；

（2）∵P（2，），PM⊥AN，
∴M的橫坐標(biāo)為2，
∴縱坐標(biāo)y===3，即M（2，3），
設(shè)直線MN的一次函數(shù)解析式為y=mx+b，則有：
，
解得：，
∴直線MN的函數(shù)解析式為y=-x+4；

（3）△AMN為直角三角形，理由如下：
∵P（2，），M（2，3），N（6，），
∴PA=2，PM=3-=2，PN=6-2=4，
在Rt△AMP中，根據(jù)勾股定理得：AM²=PA²+PM²=12，
在Rt△PMN中，MN²=PN²+PM²=24，
又∵AN=6，即AN²=36，
∴AM²+MN²=12+24=36=AN²，
∴△AMN為直角三角形．
分析：（1）由AN與x軸平行，得出P的縱坐標(biāo)與N的總坐標(biāo)相等，從而由P的縱坐標(biāo)得到N的縱坐標(biāo)，又AN=6，得到N的橫坐標(biāo)，由N在反比例圖象上，N的橫縱坐標(biāo)乘積即為k的值；
（2）由MP與y軸平行，根據(jù)P的橫坐標(biāo)得到M的橫坐標(biāo)，把M橫坐標(biāo)代入反比例解析式求出的函數(shù)值即為M的縱坐標(biāo)，從而確定出M的坐標(biāo)，設(shè)出直線MN的方程為y=mx+b，把M和N的坐標(biāo)代入列出關(guān)于m與b的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到m與b的值，確定出直線MN的解析式；
（3）三角形AMN為直角三角形，理由為：在直角三角形AMP中，根據(jù)M的縱坐標(biāo)減去P的縱坐標(biāo)求出MP的長，再由AP和MP的長，利用勾股定理求出AM²，在直角三角形PMN中，由N的橫坐標(biāo)減去P的橫坐標(biāo)得出PN的長，再由PM的長，利用勾股定理求出MN²，最后由AN求出AN²，發(fā)現(xiàn)AM²+MN²=AN²，利用勾股定理的逆定理可得出三角形AMN為直角三角形．
點評：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識有直角坐標(biāo)系中點坐標(biāo)的求法，一次函數(shù)及反比例解析式的確定，勾股定理及逆定理的應(yīng)用，求函數(shù)解析式的一般方法是利用待定系數(shù)法，其步驟為：先設(shè)出函數(shù)解析式，代入圖象上點的坐標(biāo)，利用方程組來求解，可概括為：“設(shè)”，“代”，“求”，“答”四個步驟．本題的第三問要求學(xué)生借助圖形，利用點的坐標(biāo)的加減表示出三角形的邊長，利用勾股定理的逆定理可判斷三角形為直角三角形．