Question

19．已知如圖1，二次函數(shù)y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），過A點(diǎn)的直線y=kx+3k（k$＞\frac{1}{4}$）交該二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)C（x₁，y₁），交y軸于M．
（1）直接寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，并求該二次函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3$\sqrt{3}$）且點(diǎn)Q是線段DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求出當(dāng)△DBQ與△AOM相似時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（-1，-2），圖2中連CP交二次函數(shù)的圖象于另一點(diǎn)E（x₂，y₂），連AE交y軸于N，請(qǐng)你探究OM•ON的值的變化情況，若變化，求其變化范圍；若不變，求其值．

Answer 1

分析 （1）由直線y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）過點(diǎn)A，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，可求出a的值；
（2）根據(jù)有兩個(gè)角相等的三角形相似，可得①∠DQB=∠OMA，②∠DQB=∠A．①根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，可得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；②根據(jù)等腰三角形的判定，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）直線PC解析式為y=ax+a-2，與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，根據(jù)$\frac{OM}{OA}$$•\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$得到OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²，得到結(jié)果為定值

解答 解：（1）∵直線y=kx+3k（k＞$\frac{1}{4}$）過點(diǎn)A，
∴y=0時(shí)，0=kx+3k，
解得：x=-3，
∴A（-3，0），
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax²+4ax+$\frac{3}{4}$，得
9a-12a+$\frac{3}{4}$=0，
解得：a=$\frac{1}{4}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$；
（2）如圖1，，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$=0，解得x=-3，x=-1，即A（-3，0），B（-1，0）．
設(shè)AM的解析式為y=kx+b，將A、M點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得
AM的解析式為y=$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$．
①當(dāng)∠DQB=∠OMA時(shí)，QB∥OM，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于B點(diǎn)的橫坐標(biāo)-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2$\sqrt{3}$，即Q（-1，2$\sqrt{3}$）；
②當(dāng)∠DQB=∠A時(shí)，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）．
AB=BQ，即（m+1）²+（$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）²=4，化簡(jiǎn)得m²+5m+6=0．
解得m=-2，m=-3（不符合題意，舍），
當(dāng)m=-2時(shí)，$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，即Q（-2，$\sqrt{3}$），
綜上所述：當(dāng)△DBQ與△AOM相似時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)（-1，2$\sqrt{3}$），（-2，$\sqrt{3}$）；
（3）直線PC解析式為y=ax+a-2，與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+x+$\frac{3}{4}$聯(lián)立消去y得：x²-4（a-1）x+11-4a=0，
∴x₁+x₂=4a-4，x₁x₂=11-4a，
∵$\frac{OM}{OA}$$•\frac{ON}{OA}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{A}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{A}}$
=$\frac{\frac{1}{4}（{x}_{1}+1）（{x}_{1}+3）×\frac{1}{4}（{x}_{2}+1）（{x}_{2}+3）}{（{x}_{1}+3）（{x}_{2}+3）}$
=$\frac{1}{16}$（x₁+1）（x₂+1）
=$\frac{1}{16}$（11-4a+4a-4+1）
=$\frac{1}{2}$，
∴OM•ON=$\frac{1}{2}$OA²=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，二次函數(shù)與三角形相似以及一元二次方程等知識(shí)的綜合運(yùn)用，熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．