Question

【題目】一個自然數m，若將其數字重新排列可得一個新的自然數n，如果m=3n，我們稱m是一個“希望數”．例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750．

（1）請說明41不是希望數，并證明任意兩位數都不可能是“希望數”．

（2）一個四位“希望數”M記為，已知，且c=2，請求出這個四位“希望數”．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）這個四位“希望數”為7425

【解析】試題分析：（1）根據3×14＝42≠41即可得出41不是希望數．

假設存在兩位數是希望數，記為，根據＝3，即可得出b＝1、2、3，逐一分析當b＝1、2、3時a的值，驗證后即可得出假設不成立，從而得出任意兩位數都不可能是“希望數”；

（2）根據可分析出d＝0或5，當d＝0時可得出a＝4，結合c＝2即可得出此情況不成立；當d＝5時可得出a＝7，結合c＝2即可得出關于b的一元一次方程，解之即可得出b值，將a、b、c、d值代入該四位數中即可得出結論．

試題解析：

（1）解：∵3×14＝42≠51， ∴41不是希望數．

假設存在兩位數是希望數，記為 ，

∴ ＝3 ．

∵3b為一位數，且b是3a的個位數，

∴b＝1，2，3．

當b＝1時，a＝7，3×17＝51≠71；

當b＝2時，a＝4，3×24＝72≠42；

當b＝3時，a＝1，3×31＝93≠13．

綜上可知：假設不成立，即任意兩位數都不可能是“希望數”

（2）解：∵，∴3d的個位是d，

∴d＝0或5．

當d＝0時，∵3a的個位是c，c＝2，

∴a＝4，

此時3c＝6＞4，不合適；

當d＝5時，∵3a的個位＋1是c，c＝2，

∴a＝7，

又∵，

∴3b＋2＝10＋b，解得：b＝4．

∴這個四位“希望數”為7425．