Question

如圖，在△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠C的平分線(xiàn)，AQ⊥CR，垂足為Q，P為AB的中點(diǎn)．求證：PQ＝(BC－AC)．

Answer 1

答案：
解析：

證明∵∠A＞∠B，∴BC＞AC，則延長(zhǎng)AQ與BC交于D． 　　∵CR是∠ACB的平分線(xiàn)，且CR⊥AQ，∴∠ACQ＝∠DCQ，∠AQC＝∠DQC． 　　在△ACQ和△DCQ中，∠ACQ＝∠DCQ，CQ＝CQ，∠AQC＝∠DQC， 　　∴△ACQ≌△DCQ(ASA)，∴AC＝CD，AQ＝QD，∴Q是AD的中點(diǎn)． 　　∵P為AB的中點(diǎn)，∴PQ＝BD＝(BC－CD)＝(BC－AC)． 　　分析：由∠A＞∠B可知BC＞AC，因此要確定BC－AC與哪條線(xiàn)段的長(zhǎng)相等．可延長(zhǎng)AQ交BC于D，由CR平分∠ACB，AQ⊥CR可以證得AC＝CD，則BD＝BC－AC． 　　因而進(jìn)一步需要證明PQ＝BD．觀(guān)察圖形，若PQ是△ABD的中位線(xiàn)，則PQ＝BD成立．已知P為AB的中點(diǎn)，且Q為AD的中點(diǎn)，因此問(wèn)題可證．