Question

已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC的中點M，連結(jié)DM和BM．
（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖①，探索BM、DM的關(guān)系并給予證明；
（2）如果將圖①中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖②，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明。

Answer 1

解：（1）BM=DM ，BM⊥DM 證明：在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點， ∴ ∴ ∠EMB=2∠ECB 在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點 ∴ ∴ ∠EMD=2∠ECD ∴ BM=DM，∠EMD+∠EMB =2（∠ECD+∠ECB） ∵ ∠ECD+∠ECB=∠ACB=45°，∴ ∠BMD=2∠ACB=90°  即BM⊥DM  （2）當△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角時，（1）中的結(jié)論成立 證明：連結(jié)BD，延長DM至點F，使得DM=MF 連結(jié)BF、FC，延長ED交AC于點H ∵ DM=MF，EM=MC， ∴ 四邊形CDEF是平行四邊形 ∴ DE∥CF ，ED =CF ∵ ED= AD   ∴ AD=CF ∵ DE∥CF  ∴∠AHE=∠ACF ∵  ∴ ∠BAD=∠BCF 又∵AB= BC，∴ △ABD≌△CBF ∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF ∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC， ∴∠DBF=∠ABC =90° 在Rt△中，由 , 得BM=DM   且BM⊥DM