Question

探索繞公共頂點(diǎn)的相似多邊形的旋轉(zhuǎn)：
（1）如圖1，已知：等邊△ABC和等邊△ADE，根據(jù)

 

（指出三角形的全等或相似），可得CE與BD的大小關(guān)系為：

 

．
（2）如圖2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：

FC

EB

的值；
（3）如圖3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：

FC

EB

的值．（用k的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD，從而有∠CAE=∠BAD，則△AEC≌△ADB，就可得到CE=BD．
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=

2

AB，AF=

2

AE，∠CAB=∠FAE，從而得到

AC

AB

=

AF

AE

=

2

，∠CAF=∠BAE，就可得到△AFC∽△AEB，利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．
（3）連結(jié)FA、CA，根據(jù)矩形的性質(zhì)可以證到△FEA∽△CBA，從而得到

AF

AC

=

AE

AB

，∠FAE=∠CAB，從而有∠FAC=∠EAB，就可得到△FAC∽△EAB，利用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AC=AB，∠CAB=∠EAD．
∴∠CAE=∠BAD．
在△AEC和△ADB中，

AE=AD ∠CAE=∠BAD AC=AB

．
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
故答案分別為：△AEC≌△ADB、CE=BD．

（2）如圖2，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，
∴AC=

2

AB，AF=

2

AE，∠CAB=∠FAE=45°．
∴

AC

AB

=

AF

AE

=

2

，∠CAF=∠BAE．
∴△AFC∽△AEB．
∴

FC

EB

=

AC

AB

=

2

．
∴

FC

EB

的值為

2

．

（3）連結(jié)FA、CA，如圖3，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF，
∴∠FEA=∠CBA=90°，

AE

EF

=

AB

BC

=k．
∴△FEA∽△CBA．
∴

AF

AC

=

AE

AB

，∠FAE=∠CAB．
∴∠FAC=∠EAB．
∴△FAC∽△EAB．
∴

FC

EB

=

AC

AB

∵AC=

AB2+BC2

=

k2BC2+BC2

=

k2+1

BC．
∴

FC

EB

=

k2+1 BC

kBC

=

k2+1

k

．
∴

FC

EB

的值為

k2+1

k

．

點(diǎn)評：本題以漸進(jìn)式問題串的形式呈現(xiàn)，既考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，又能引領(lǐng)學(xué)生積極思考，積累豐富的解題經(jīng)驗，是一道好題．