Question

9．如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=$\frac{4}{5}$，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)；
（2）如圖2，連接AP，當(dāng)AP∥CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)；
（3）如圖3，當(dāng)BC=BG時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABH中，根據(jù)BH=AB•cosB，求出BH，AH，CH，再根據(jù)勾股定理即可求出AC．
（2）如圖2中，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，首先證明四邊形APCE是菱形，根據(jù)CP=CE=$\frac{CM}{cos∠ACB}$，求出CE，再根據(jù)勾股定理求出EF即可．
（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)AQ⊥BC，在Rt△ECN中，求出EN即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)⊙O的半徑為r，

當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，
過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∴BH=AB•cosB=4，
∴AH=3，CH=4，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5
∴此時(shí)CP=r=5；

（2）如圖2中，若AP∥CE，APCE為平行四邊形，

∵CE=CP，
∴四邊形APCE是菱形，
連接AC、EP，
則AC⊥EP，
∴AM=CM=$\frac{5}{2}$，由（1）知，
AB=AC，則∠ACB=∠B，
∴CP=CE=$\frac{CM}{cos∠ACB}$=$\frac{25}{8}$，
∴EF=2$\sqrt{（\frac{25}{8}）^{2}-{3}^{2}}$=$\frac{7}{4}$；

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)AQ⊥BC，

∵$\frac{BQ}{AB}$=cosB，AB=5，
∴BQ=4，AN=QC=BC-BQ=4．
∵∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴AE：CB=AG：BG，
即AE：8=AE：（AE+5），
解得：AE=3，EN=AN-AE=1，
∴CE=$\sqrt{E{N}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴⊙C的半徑為$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．