Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C在x軸上，∠OCD=∠D=90°，AO=OC=10cm，CD=6cm．
（1）請求出點A的坐標(biāo)．
（2）如圖2，動點P、Q以每秒1cm的速度分別從點O和點C同時出發(fā)，點P沿OA、AD、DC運動到點C停止，點Q沿CO運動到點O停止．設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒．
①是否存在某個時間t（秒），使得△OPQ為直角三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
②若記△POQ的面積為y（cm²），求y（cm²）關(guān)于t（秒）的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）做AE⊥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出OM的長度，然后運用勾股定理即可推出MA的長度，即可推出A點的坐標(biāo)；
（2）①作AN⊥OA，設(shè)與OC的延長線交于N點，延長DA到y(tǒng)軸，設(shè)與y軸交于點M，通過求證△OMA∽△NAO，推出AN=

15

2

cm，ON=

25

2

cm，再分情況進(jìn)行討論．若∠OPQ=90°，則△OPQ為直角三角形，由PQ∥AN，推出

OP

OA

=

OQ

ON

，即可求出t=

40

9

；若∠OQP=90°，則△OPQ為直角三角形，通過求證∠AON∽△QOP，推出

OP

ON

=

OQ

OA

，即可求出t=

50

9

cm，所以當(dāng)t=

40

9

cm或者t=

50

9

cm時，△OPQ為直角三角形；
②作QH⊥OA，把OP視作底邊，由QH∥AN，推出

QH

AN

=

OQ

ON

，再由OQ=10-t，AN=

15

2

，ON=

25

2

，推出高QH的長度，然后根據(jù)OP=t，即可推出S=-

3

10

t2+3t（0＜t＜10）．

解答：解：（1）如圖1，作AE⊥OC于E．
∴AE∥CD，
∵∠OCD=∠D=90°，
∴AD∥OC，
∵CD=6cm，
∴AE=DC=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，
∴A（8，6）；

（2）作AN⊥OA，設(shè)與OC的延長線交于N點，延長DA，與y軸交于點M．
①如圖2，
∵AD∥OC，
∴AM⊥OM，
∴DM∥OC，
∵A（8，6），
∴AM=8cm，OM=CD=6cm，
∴∠AON=∠MAO，
∵∠AMO=∠OAN=90°，
∴△OMA∽△NAO，
∴

OM

AN

=

MA

AO

=

OA

ON

，
∵OM=6cm，AM=8cm，OA=10cm，
∴AN=

15

2

cm，ON=

25

2

cm，
如圖，若∠OPQ=90°，則△OPQ為直角三角形，
∴PQ∥AN，
∴

OP

OA

=

OQ

ON

，
∵P，Q兩點的運動時間為t秒，OC=OA=10cm，
∴

t

10

=

10-t

25 2

，
∴t=

40

9

，
如圖，若∠OQP=90°，則△OPQ為直角三角形，
∵∠AON=∠QOP，
∴∠AON∽△QOP，
∴

OP

ON

=

OQ

OA

，
∴

t

25 2

=

10-t

10

，
∴t=

50

9

cm，
∴當(dāng)t=

40

9

cm或者t=

50

9

cm時，△OPQ為直角三角形；

②如圖3，作QH⊥OA于H．
∵AN⊥OA，
∴QH∥AN，
∴

QH

AN

=

OQ

ON

，
∵OQ=10-t，AN=

15

2

，ON=

25

2

，
∴QH=

30-3t

5

cm，
∵OP=t，
∴S_△OPQ=

QH•OP

2

=

30t-3t2

10

，
∴S=-

3

10

t2+3t（0＜t＜10）．

點評：本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，點的坐標(biāo)，相似三角形的判定及性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出輔助線，構(gòu)建直角三角形，運用數(shù)形結(jié)合的思想推出相關(guān)的三角形相似，求出相關(guān)線段的長度，正確的進(jìn)行分析．