Question

如圖，⊙0的直徑AB=2，AM和BN是它的兩條切線，且AD+BC=CD，連OD，OC，
（1）求證：AM∥BN；
（2）求證：DC是⊙O切線；
（3）設(shè)AD=x，求四邊形ABCD的面積S與x的關(guān)系式．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)證得AB⊥AD，AB⊥BC，根據(jù)平行線的判定即可證得；
（2）連接OD、OC，作OE⊥CD于E，根據(jù)S_△DOC+S_△AOD+S_△BOC=S_梯形即可證得OE=OA，從而證得DC是⊙O切線；
（3）作DF⊥BN交BC于F，證得四邊形ABFD是矩形，從而得出BF=AD=x，DF=AB=2，設(shè)BC=y，根據(jù)勾股定理求得y與x的關(guān)系式，然后根據(jù)梯形的面積公式即可求得．

解答：（1）證明：∵AM和BN是⊙O的兩條切線，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AM∥BN．
（2）證明：連接OD、OC，作OE⊥CD于E，
∵S_△DOC+S_△AOD+S_△BOC=S_梯形，
S_△DOC=

1

2

CD•OE=

1

2

（AD+BC）•OE，
S_△AOD=

1

2

AD•OA，
S_△BOC=

1

2

BC•OB=

1

2

BC•OA，
S_梯形=

1

2

（AD+BC）•AB=（AD+BC）•OA，
∴（AD+BC）•OA=

1

2

（AD+BC）•OE+

1

2

AD•OA+

1

2

BC•OA，
∴OA=

1

2

OE+

1

2

OA，
∴OE=OA，
∴DC是⊙O切線；
（3）解：作DF⊥BN交BC于F，
∵AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=2，
設(shè)BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵AM和BN是⊙O的兩條切線，DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
則DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）²=（x-y）²+2²，
整理得：y=

1

x

，
∴S=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

（x+

1

x

）×2=x+

1

x

，
即S=x+

1

x

．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線．