Question

如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE,△AMN是等邊三角形：

（1）當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE嗎？若相等請(qǐng)證明，若不等于請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，△AMN還是等邊三角形嗎？若是請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由（可用第一問(wèn)結(jié)論）.

 

Answer 1

【答案】

（1）CD=BE．理由如下:

∵△ABC和△ADE為等邊三角形  

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o

∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，   

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD

∴CD=BE                    

（2）△AMN是等邊三角形．理由如下：

∵△ABE ≌ △ACD，    ∴∠ABE=∠ACD．

∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，∴BM=CN

 ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°

 ∴△AMN是等邊三角形．

【解析】可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，所以CD=BE．

可以證明△AMN是等邊三角形，AD=a，則AB=2a，根據(jù)已知條件分別求得△AMN的邊長(zhǎng)，因?yàn)椤鰽DE，△ABC，△AMN為等邊三角形，所以面積比等于邊長(zhǎng)的平方的比．