Question

已知：如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓的切線PC（C為切點(diǎn)）和割線PAB，分別交⊙O于A、B，連接AC，BC．
（1）求證：∠PCA=∠PBC；
（2）利用（1）的結(jié)論，已知PA=3，PB=5，求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連結(jié)OC，OA，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圓周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根據(jù)∠PCA+∠ACO=90°即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，OA，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∵PC是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，
∴PC⊥OC，
∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，
在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，
∵∠AOC=2∠PBC，
∴2∠ACO+2∠PBC=180°，
∴∠ACO+∠PBC=90°，
∵∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCA=∠PBC；

（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，
∴△PAC∽△PCB，
∴

PC

PA

=

PB

PC

，
∴PC²=PA•PB，
∵PA=3，PB=5，
∴PC=

3×5

=

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓心角是解答此題的關(guān)鍵．