Question

13．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于D，P是AB延長線上一點，連PC，且∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由AC為直徑，得到∠ADC=90°，由余角的性質(zhì)得到∠PCA=90°，于是得到結(jié)論；
（2）如圖，連接連接AD，作BE⊥CD于E，DF⊥PC于F．設(shè)PC=3k，PA=5k，AC=4k，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD=BD，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到CF=EF，DF=$\frac{1}{2}$BE，PB=k，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接AD，
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠PCB=∠CAB，
∴PCB+∠DCA=90°，
∴∠PCA=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接連接AD，作BE⊥CD于E，DF⊥PC于F．
在Rt△APC中，∵sin∠PAC=$\frac{3}{5}$，
設(shè)PC=3k，PA=5k，AC=4k，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB，
∵AC=AB=4k，
∴CD=BD，
∵DF∥BE，
∴CF=EF，DF=$\frac{1}{2}$BE，PB=k，
∵BE∥AC，
∴$\frac{PE}{PC}$=$\frac{BE}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$k＜BE=$\frac{4}{5}$k，EC=$\frac{12}{5}$k，
∴CF=$\frac{6}{5}$k，PF=$\frac{14}{5}$k，DF=$\frac{2}{5}$k，
∴tan∠PCB=$\frac{DF}{CF}$=3．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．