Question

如圖：二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象與x軸交于A（-，0），B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，將A（-，0），B（2，0）代入y=-x2+ax+b中， 得，解這個(gè)方程，得a=，b=1， ∴該拋物線的解析式為y=-x2+x+1， 當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）， ∴在△AOC中，AC=， 在△BOC中，BC=， AB=OA+OB=+2=， ∵AC2+BC2=+5==AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，1）； （3）存在。由（1）知，AC⊥BC。 ①若以BC為底邊，則BC//AP，如圖1所示， 可求得直線BC的解析式為y=-x+1，直線AP可以看作是由直線BC平移得到的， 所以設(shè)直線AP的解析式為y=-x+b， 把點(diǎn)A（-，0）代入直線AP的解析式，求得b=-， ∴直線AP的解析式為y=-x-， ∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線AP上， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1=-x-， 解得x1=， x2=-（舍去）， 當(dāng)x=時(shí)，y=-， ∴點(diǎn)P（，-）， ②若以AC為底邊，則BP//AC，如圖2所示， 可求得直線AC的解析式為y=2x+1， 直線BP可以看作是由直線AC平移得到的， 所以設(shè)直線BP的解析式為y=2x+b， 把點(diǎn)B（2，0）代入直線BP的解析式，求得b=-4， ∴直線BP的解析式為y=2x-4， ∵點(diǎn)P既在拋物線上，又在直線BP上， ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，即-x2+x+1=2x-4，解得x1=-，x2=2（舍去）， 當(dāng)x=-時(shí)，y=-9， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，-9）， 綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)P為（，-）或（-，-9）。