Question

16．已知：如圖，直線y=-x+4分別交x軸、y軸于A、B點(diǎn)，將△AOB折疊，使A點(diǎn)恰好落在OB的中點(diǎn)C處，折痕為DE．
（1）求AE的長(zhǎng)及sin∠BEC的值；
（2）求△BCE的面積．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥BE于F點(diǎn)，由函數(shù)解析式可得點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)A（4，0），∠A=∠B=45°，設(shè)AE=CE=x，表示出EF、CF，然后在Rt△CEF中利用勾股定理可求出x，繼而可得出答案．
（2）直接利用S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•CF求出答案即可．

解答 解：如圖1，作CF⊥BE于F點(diǎn)，由函數(shù)解析式可得點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)A（4，0），∠A=∠B=45°，

又∵點(diǎn)C是OB中點(diǎn)，
∴OC=BC=2，CF=BF=$\sqrt{2}$，
設(shè)AE=CE=x，則EF=AB-BF-AE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$-x，
在RT△CEF中，CE²=CF²+EF²，即x²=（3$\sqrt{2}$-x）²+（$\sqrt{2}$）²，
解得：x=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
故可得sin∠BEC=$\frac{CF}{CE}$=$\frac{3}{5}$，AE=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$；

（2）則S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•CF=$\frac{1}{2}$×（AB-AE）×CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{3}$×$\sqrt{2}$=$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及了三角函數(shù)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)及三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，此題三角形的面積可以表示為$\frac{1}{2}$absin∠C，（其中∠C是邊a、b的夾角）．