Question

4．已知△ABC中，三邊記為a，b，c．若a²+b²=nc²（n為正整數(shù)），則稱(chēng)△ABC為n階三角形．顯然等腰Rt△為1階三角形，或者為3階三角形．
（1）試判斷正三角形的階數(shù)；
（2）若一直角三角形為2階三角形，求此三角形的三邊之比；
（3）反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象交矩形ABCO兩邊所在直線AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)B（2，1），若△OEF為4階三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是正三角形，得出a=b=c，得出a²+b²=2c²，b²+c²=2a²，a²+c²=2b²，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理得出a²+b²=c²，再由已知條件得出c²+a²=2b²，證出2a²+b²=2b²，得出b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{3}$a，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意得出F（k，1），E（2，$\frac{k}{2}$），由矩形的性質(zhì)和勾股定理得出OF²=1+k²，OE²=4+$\frac{{k}^{2}}{4}$，EF²=BF²+BE²=$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5；分三種情況：①當(dāng)OF²+OE²=4EF²時(shí)；②當(dāng)OF²+EF²=4OE²時(shí)；③當(dāng)OE²+EF²=4OF²時(shí)；分別得出關(guān)于k的方程，解方程即可．

解答 解：（1）正三角形是2階三角形；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴a=b=c，
∴a²+b²=2c²，b²+c²=2a²，a²+c²=2b²，
∴正三角形是2階三角形；
（2）∵△ABC為2階直角三角形，
∴a²+b²=c²，且c²+a²=2b²，
∴2a²+b²=2b²，
∴b=$\sqrt{2}$a，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∴a：b：c=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
（3）如圖所示：根據(jù)題意得：F（k，1），E（2，$\frac{k}{2}$），
∵四邊形ABCO是矩形，
∴∠OCF=∠B=∠OAB=90°，
∴OF²=1+k²，OE²=4+$\frac{{k}^{2}}{4}$，EF²=BF²+BE²=（2-k）²+（1-$\frac{k}{2}$）²=$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5；
分三種情況：①當(dāng)OF²+OE²=4EF²時(shí)，1+k²+4+$\frac{{k}^{2}}{4}$=4（$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5），
解得：k=$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$；
②當(dāng)OF²+EF²=4OE²時(shí)，1+k²+$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5=4（4+$\frac{{k}^{2}}{4}$），
解得：k=2±2$\sqrt{3}$（負(fù)值舍去），
∴k=2+2$\sqrt{3}$；
③當(dāng)OE²+EF²=4OF²時(shí)，4+$\frac{{k}^{2}}{4}$+$\frac{5}{4}{k}^{2}$-5k+5=4（1+k²），
解得：k=-1±$\sqrt{3}$（負(fù)值舍去），
∴k=-1+$\sqrt{3}$；
綜上所述：k的值為$\frac{8±2\sqrt{7}}{3}$，或2+2$\sqrt{3}$，或-1+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是反比例函數(shù)綜合題目，考查了正三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的解法以及n階三角形的定義等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程才能得出結(jié)果．